深入淺出的理解頻譜泄露
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- 發布時間：2014/3/18 11:02:28
- 作者：AnyWay中國
這個世界上有很多概念，本來非常簡單，可是，被一些學者一解釋，就變得復雜了。
為了明白一個很容易明白的概念，你需要先明白許多依據你的知識結構根本沒法明白的概念，于是，你只能望而卻步！
頻譜泄露就是這樣的一個概念。
一什么是頻譜泄露？
頻譜泄露與
傅里葉變換尤其是離散時間傅里葉變換有關，對于頻譜泄露，通常的解釋是這樣的：
信號為無限長序列，運算需要截取其中一部分（截斷），于是需要加窗函數，加了窗函數相當于時域相乘，于是相當于頻域卷積，于是頻譜中除了本來該有的主瓣之外，還會出現本不該有的旁瓣，這就是頻譜泄露！為了減弱頻譜泄露，可以采用加權的窗函數，加權的窗函數包括平頂窗、漢寧窗、高斯窗等等。而未加權的矩形窗泄露最為嚴重。
為了說明頻譜泄露，一下子引入了時域、頻域、窗函數、卷積、主瓣、旁瓣等等抽象的概念。
頻譜泄露有這么復雜嗎？頻譜泄露到底是什么意思？
一句話，頻譜泄露就是分析結果中，出現了本來沒有的頻率分量。比如說，50Hz的純正弦波，本來只有一種頻率分量，分析結果卻包含了與50Hz頻率相近的其它頻率分量。
更簡單的描述是：分析結果與實際不一致！
二為何會出現頻譜泄露？
我們把無限長序列分為兩種情況：
1無限長序列為非周期信號
非周期的無限長序列，任意截取一段有限長的序列，都不能代表實際信號，分析結果當然與實際信號不一致！
道理是顯而易見的：
你分析的信號根本就不能代表實際信號，結果當然也與實際信號不一致，更準確的說法，結果是錯誤的，造成錯誤結果的原因是分析方法是錯誤的！
2無限長序列為周期信號
對于周期性的無限長序列，假設截取的是正好一個或整數個信號周期的序列，這個有限長序列就可以代表原無限長序列，假設分析的方法得當的話，分析結果應該與實際信號一致！
這里，我們作了兩個假設，第二個假設是偉大的傅里葉作出的偉大論斷！是成立的！
如果第一個假設也成立，是不是就不會發生頻譜泄露呢？
答案是肯定的！
從無限長序列中截取一個或整數個周期，我們稱為整周期截斷，反之，稱為非整周期截斷。
整周期截斷，不會造成頻譜泄露！
非整周期截斷，必然造成頻譜泄露！
換言之：
整周期截斷是不發生頻譜泄露的充分且必要條件！或 非整周期截斷是發生頻譜泄露的充分且必要條件！
為什么非整周期截斷就會發生頻譜泄露呢？且看下圖：
圖1.從無限長序列中截取有限長序列
圖1所示為無限長周期信號，我們截取了其中一段（有限長序列），這一段不是一個完整周期。傅里葉變換仍然將信號當成無限長序列，傅里葉變換又是如何將其當成無限長呢？
這里采用了一種被稱為周期延拓的技術，所謂周期延拓，就是把截取的有限長序列當成是無限長序列的一個周期，然后不斷的復制，得到一個新的無限長序列。
圖2.有限長序列經過周期延拓構建的新的無限長序列
如圖2所示，從圖1所示無限長序列中截取的有限長序列，經過周期延拓后，得到一個新的無限長序列，顯然，這個新的序列與原序列是不一樣的！
圖2的信號與圖1的信號不同，分析得到的頻譜自然也不同！不同之處在于，圖1是單一頻率信號，只有一根譜線，而圖2中，除了圖1信號包含的這根譜線（不妨稱為主譜線）外，出現了其它頻率的譜線，通常，這些譜線要比主譜線短很多，如果把這些原信號不包含的譜線理解為是主譜線泄露出來的，那么，這種現象就被稱為頻譜泄露！
采用合適的窗函數（常見的窗函數有漢寧窗、三角窗、海明窗和高斯窗等等）可以一定程度上抑制頻譜泄露。
窗函數的概念，非常抽象，然而，窗函數的作用，是非常有限的，我們可以這樣理解：
如圖2中的信號，由于突然截斷造成周期延拓時兩個周期相鄰處出現了信號突變，這種突變，代表的是信號包含了高次諧波。加上合適的歘窗函數，可以把這個突變變得圓滑一些，從而抑制高次諧波。
但是，我們也可以這樣想，假設圖2的信號就是真實信號，那么，加上這樣的窗函數反而得到了錯誤的結果！
因此，避免頻譜泄露的根本還是要從源頭出發，盡可能做到準確的整周期截斷，這種情況下，窗函數可以選擇最簡單的矩形窗。
三正確處理頻譜泄露
造成頻譜泄露的原因在于傅里葉變換的輸入信號不能準確的、完整的代表被分析信號，輸出產生的一種誤差，這種誤差可以通過加合適的窗函數或延長時間窗得以改善，當輸入信號的不完整性達到一定程度，輸出是一種錯誤的結果。
對于周期信號，整周期截斷是不發生頻譜泄露的充分且必要條件，抑制頻譜泄露應該從源頭抓起，盡可能進行整周期截斷。
這一點，從相關標準的規定也可以得到佐證。電能質量相關的IEC標準（IEC61000-4-7）和國家標準都明確規定，諧波測量儀器的傅里葉時間窗為10個基波周期，且采用矩形窗。即：標準強調通過提高儀器的同步性減小頻譜泄露，而不推薦采用各種效果不可控的窗函數抑制頻譜泄露。
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